Binom Açılımı ve Özellikleri

x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla




ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir.

Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.

1 ...........................(x+y)0

1 1 ........................(x+y)1

1 2 1 .....................(x+y)2

1 3 3 1 ..................(x+y)3

1 4 6 4 1 ...............(x+y)4


Sonuçlar :

1. Açılımda n+1 tane terim vardır.


2. Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n’dir. mesela, açılımın bir terimi olan de terimi oluşturan çarpanı ile çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n’ dir.


3. Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x=1 ve y=1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının olduğunu hatırlayınız.

Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.


4. Açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim,
dir.


5. açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, ‘dir.

Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.

Kümenin Eleman Sayısı:

s(A)=0............................................ ...............1
s(A)=1............................................ ............1.....1
s(A)=2............................................ .......1.....2.....1
s(A)=3............................................ ..1.....3.....3.....1
s(A)=4..........................................1. ....4.....6.....4.....1
s(A)=5......................................1..... 5.....10....10.....5....1 ...

Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.


Örneğin;

s(A)=4 ..............1.....4.....6.....4.....1

s(A)=5..........1.....5.....10.....10.....5.....1

Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.

A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.

0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c} 3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane

s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,....alt kümelerinin sayısını gösterir.


Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.


*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın satırındaki üçüncü sayı)


*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:

3 elemanlı..........10..........(s(A)=5’in satırında 4. sayı)

4 elemanlı..........5..........(s(A)=5’in satırında 5. sayı)


*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:

1.YOL: (21+35+21+7+1)=120

2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)


Binom Açılımı:

(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.


* (a+b)5=?



(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5


* (5x-3y)2=?





(5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2

Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir.

*

Alıntı