Sabit bir AB doğru parçasının uçları [A(m, 0) ve B(0, n)] koordinat ekseni üzerinde kaymaktadır. AB üzerinde MA = a, MB = b olacak şekilde alınan bir M noktasinin geometrik yerini bulunuz. M 'nin, AB 'nin orta noktası olması halinde M noktasının geometrik yeri ne olur? MA = a ve MB = b olacak şekilde M(x, y) noktası AB doğru parçasını a / b oranında içten bölen bir nokta olduğundan λ = - a / b dir. M noktasının koordinatları da; x = [m - 0(-a / b)] / [1 - (-a / b)] = m / [1 + (a / b)] => m = [1 + (a / b)]x y = [0 - n(-a / b)] / [1 - (-a / b)] = n(a / b) / [1 + (a / b)] => n = [(b / a) + 1]y m2 + n2 = (a + b)2 olduğundan x2[1 + (a / b)]2 + y2[(b / a) + 1]2 = (a + b)2 (x2 / b2) + (y2 / a2) = 1 bulunur. O halde M 'nin geometrik yeri, yarı eksen uzunlukları 2b ve 2a olan merkezil bir elipstir. M, AB 'nin orta noktası ise b = a olup geometrik yerin denklemi x2 + y2 = a2 olup yarıçapı a olan merkezil çemberdir. Kaynak: Çözümlü Analitik Geometri Problemleri (Düzlem) - İhsan Irk 2. Amatör Çözüm: K(0, a) ve A(0, b) L(c, 0) ve B(d, 0) olacak şekilde koordinatlar belirlenirse a2 + c2 = b2 + d2....(I) eşitliği yazılabilir. KL ve AB hipotenüslerine ait kenarortayların uzunlukları sırasıyla P ve R olmak üzere Kenarortay Teoremi gereğince, 2P2 + (KL2 / 2) = KT2 + TL2 2R2 + (AB2 / 2) = AT2 + BT2 yazılıp koordinatlara göre; 2P2 + [(a2 + c2) / 2] = a2 + c2 2R2 + [(b2 + d2) / 2] = b2 + d2 eşitlikleri oluşturulup (I) eşitliği nedeniyle 2P2 = 2R2 => P = R olduğu ve kenarortayların hipotenüsleri kestiği noktaların da T noktasından eşit uzaklıkta olmasından dolayı, bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin bir çember olduğu hatırlanarak çeyrek çemberin doğru cevap olduğu bulunur. Honore( Alıntı)
