Fizik ve Kimya'da bazı katsayılara bazı sabitlere alışığız. Avagadro sayısını ışığın hızını veri olarak kabul ediyoruz. Nereden geliyor bu sayılar demiyoruz. Ancak matematiğin öyle deyip geçemeyeceğini de aklımızda tutalım. Pi sayısını ya da e sayısını düşünün. Ne kadar önemli sayılar. İyi de bazı sayılar diğerlerinden niçin daha önemli. Hikayelerine önemlerine etraflıca bakacağız. SIFIR Sıfır(0) Arapça şafira ya da şifr Sanskritçe sünya İngilizce zero(nil-null). Boş hiç olan; ya da herhangi bir şey olmayan. Batı dillerindeki şifre sözcüğünün kökeni. Günümüz sayı sisteminin merkezine hangi serüvenleri izleyerek gelip oturduğu aşağı yukarı biliniyor. Matematiğin tarihibu sayının Hint kökenli olduğundan hemen hemen emin. Basamak yerine ilk kullanımı çok eskilere gitmesine rağmen bu günkü anlamdakine en yakın kullanımı Hint matematikçi Brahmagupta'nın Brahmasputha Siddhanta adlı eserinde anlatılmaktadır. MS 628 tarihini taşıyan bu eserinde Brahmagupta sıfır ile dört işlemin kurallarını sıralar. Toplamaçıkarma ve çarpmada sorunsuz sıyrılan Brahmagupta bölmede zorlanmaktadır. Şöyle diyor: "-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayının sıfır ile bölünmesi durumunda sonuç paydasında sıfır bulunan bir kesirdir". "-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayı tarafından bölünen sıfır ya sıfırdır veya payında sıfırpaydasında bir sayı bulunan kesirdir." "-Sıfır bölü sıfır sıfırdır." Daha sonraki yıllarda tanımsız olarak kabul edilen sıfırla bölme işlemi gerçekten hala kafalarımızı karıştırmaya devam ediyor. Halbuki sıfır'ın bir sayıyla bölünmesinde hiçbir sorun yok. Sıfır bölü sıfır ise sıfır değil; o da tanımsız. Günümüzde kullandığımız sayı sistemine Hint-Arap sayı sistemi diyoruz. Ondalık basamaklı sayı sistemi Hindistan'dan Arap yarımadasına oradan da İslam İmparatorluğu'nun genişlemesine parelel olarak Kuzey Afrika ve Endülüs üzerinden Avrupa'ya ulaşmıştır. Kendisi Becaiye'de (Cezayir) yetişmiş olan ünlü matematikçi Fibonacci 1202 de yayınladığı Liber Abaci adlı eserinde bu sistemi Avrupa'ya tanıtmıştır. Sıfır'ın ya da daha hoş yakıştırmayla ŞİFRE'nin hikayesi bu kadar kısa değil elbet. Herhangi bir sayının sıfırla çarpımı sıfır olduğu için sıfırın yutan eleman görevi gördüğünü söylemişsiniz. Sanki kara delikmiş gibi. Oysa duruma şöyle bakalım: 3*2=2+2+2=6 olarak yazılabilir. Benzer şekilde m*0=0+0+...+0(m tane 0'ın toplamı)=0 olur. Burada anlaşılma kolaylığı için m'yi sonlu bir pozitif tam sayı olarak kabul edelim. Sıfır m'yi yutmuyor; m tane sıfır toplanınca sonuç sıfır çıkıyor. Ya da: m*0=m*0+(m-m)=m*0+m*1-m=m(0+1)-m=m*1-m=m-m=0 m burada sonlu herhangi bir sayı. Şifrenin şifresi: Yoktan yonga kopmaz Pİ SAYISI: Bir çemberin çapı 1 olduğunda çevresi Pi'ye eşittir. Pi nedir: Matematikçi: "Pi bir dairenin çevresinin çapına oranıdır." Bilgisayar Programcısı: "Pi 314159265389 dur" Fizikçi: "314159artı eksi 0000005'tir" Mühendis: "Yaklaşık 22/7'dir" Pi'yi Nasıl Hesaplarız Tahmin edebileceğiniz gibi artık sayısının hesaplamak için elimizde pek çok seçenek var. Örneğin18 no'lu soruda trigonometri fonksiyonları kullanılarak bu hesabın nasıl yapılabileceği belirtilmiş. Orada: sin-11=/2 ve cos-10=/2 eşitliklerinin sol tarafları için Taylor serisi açılımı kullanılarak 'nin değerinin istenilen duyarlılıkla hesaplanabileceği gösterilmiş. Ancak sizin burada sorduğunuz sorunun bu hesabın daire ve çap ilişkisi kullanılarak nasıl yapılabileceğinin ya da tarihsel olarak nasıl yapıldığının açıklanması olduğunu varsayıyorum. Bir dairede dairenin alanı ile çap arasında ya da dairenin çemberi ile çap arasında sabit bir oranın var olduğu ilk kimler tarafından ve ne zaman keşfedildi bu kesin olarak bilinmiyor. Elimizdeki en eski kayıtta M.Ö 1650 civarında Ahmes adlı Eski Mısır'lı bir katibin yazmış olduğu ve Rhind Papirüsü adı verilen belgede şöyle deniliyor: "Çapın 1/9'unu kes ve kalanının üstüne bir kare çiz; bu alan dairenin alanının aynısıdır." Burada dairenin alanı ile çap arasında sabit bir oranın varlığı belirtilmiş olmakla birliktegünümüzdeki anlamda bir ? sayısının varlığının bilincinde olunduğu kuşkulu. Bu öneri doğrultusunda elde edilecek olan sonuç karenin kenarı x=8(2r)/9 olduğuna ve alanı x2=64.(4r2)/81 olacağına göre bu alan dairenin alanına eşitlendiğinde 256r2/81= r2 veya =256/81=316005 olarak karşımıza çıkar. Fena bir yaklaştırma değil. Öte yandan söz konusu karenin çevresi L=4x=64r/9 olur. Bunu dairenin çevresine eşitleyecek olursak L=2r eşitliğinden 64r/9=2r veya =32/9=355555 elde ederiz. Bu yaklaştırma alanların eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü. Eski Mısır'lıların bu hesabı yapıp yapmadıklarını bilmiyoruz ancak kendimiz bu hesabı yaparsak =256/81 buluyoruz. Matematik tarihçileri arasında genel kanı Eski Mısırlıların çemberin uzunluğunun çapın uzunluğuna oranını 256/81=316049. olarak kabul ettikleri şeklindedir. Bu sayı bugün 54 milyar basamağa kadar hesaplanmış olan jsayısının ilk 5 basamağının 314159 olduğunu hatırlarsak sayısının değerinin hesaplanmasındaki hata oranının daha M.Ö. 1650'lerde yüzde 1'in altına düşmüş olduğu anlamına geliyor. Eski Grek'ler döneminde Anaksagoras (M.Ö. 500-428) ile başlayıp Antiphon ve Bryson ile devam eden çalışmalarda bir çemberin içine çizilen eşit kenarlı çokgenlerin alanıyla sayısının hesaplanması çalışmaları başladı. Açalım: Şekil'de yarıçapı r olan bir dairenin içine bir kare oturtulmuş. Bu kareyi daireye bir yaklaştırma olarak düşünüyoruz. ABC üçgeni ikizkenar olduğundan karenin yarım kenar uzunluğu a=r/2'dir. Bu durumda karenin çevresi L=8a=42r alanı A=(2a)²=(2r)²=2r² olur. Karenin çevresini dairenin çemberine eşitlersek L=2r eşitliğinden 42r=2r veya =22 elde ederiz. Bu yaklaştırma bize =2828427 verir. Halbuki karenin alanını dairenin alanına eşitlediğimizde A= r² eşitliğinden 2r²= r² yani =2 elde ederiz. Bu yaklaştırma çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü. Şimdi yaklaştırmamızı bir adım daha ileri götürmek üzere bu sefer dairenin içine bir kare yerine eşkenarlı bir sekizgen oturtalım. Alttaki 2 numaralı şekilde bu durum görülüyor. Eşkenarlı sekizgenin kareye göre fazlalık alanları sarı renkle tonlandırılmış. AD uzunluğu r'ye eşit ve a=r/2 olduğuna göre; BCD üçgeninin yüksekliğinin b=r-r/2 olması gerekir. BC kenarının uzunluğu a=r/2 olduğuna göre BD kenarının uzunluğunun karesi a²+b² = r²/2+ (r²+ r²/2- 2r²/2)=2r²-2r²=(2-2)r² olur. O halde BD'nin uzunluğu |BD|=(2-2)½ r'dir. Sekizgenin çevresi bunun 8 katı yani L=8.(2-2)½ r'ye eşittir. Bunu dairenin çevresine eşitlersek L= L=2r eşitliğinden 8.(2-2)½ r = 2r veya =4.(2-2)½ elde ederiz. Bu yaklaştırma bize =306146 verir. Bir önceki yaklaştırmadan daha iyi. Öte yandan BCD üçgeninin alanı a.b/2= (r/2).(r-r/2)/2=r²/22- r²/4 olur. Sekizgenin alanını elde etmek için karenin alanına bu üçgenlerden sekizinin alanını eklemek gerekir: A=(2a)²+8.(r²/22- r²/4)= 2r²+22r²- 2r²=22r². Bu alanı dairenin alanına eşitlersek A= r² eşitliğinden 22r²= r² yani =22=2828427 elde ederiz. Görüldüğü gibi bu yaklaştırma çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü ama kare ile elde edilen yaklaştırmalardan daha iyi bir sonuç. Demek ki herhangi bir eşkenar çokgenle yaklaştırmada çevrelerin eşitlenmesialanların eşitlenmesinden daha iyi sonuç veriyor gibi. Böyle bir genelleme yapmak mümkün. Bunun nedeni çokgenlerin çevresinin dairenin çevresine çokgenlerin alanlarının dairenin alanına yaklaştığından daha hızlı yaklaşıyor olması. Asıl ilginç olanı sekizgenle yaklaştırmada alanların eşitlenmesiyle elde edilen sonuç kare ile yaklaştırmada çevrelerin eşitlenmesiyle elde edilen sonucun aynısı. Bunun nedenini de siz düşünüp bulun. Bir sonraki yaklaştırma aşamasına dairenin içindeki eşkenar sekizgen bir eşkenar onaltıgene genişletilerek geçilebilir. Ancak. Eski Greklerin yaptığı buna benzer çalışmalarda söz konusu sabite sayısı adı verilmiş değildi; yazılarda çap ile çember uzunluğu arasında çarpan olan "o sabit sayı"dan bahsediliyordu. Düzgün çokgenlerle köşe sayısını her adımda ikiye katlayarak hızla daireye doğru yaklaşılabileceği ve düzgün çokgenin alanı hesaplanıp çapa bölünerek sayısının giderek daha da yüksek duyarlılıkla hesaplanabileceği yukarıdaki örneklerden de görüleceği üzereaçıktır. Ancak unutulmamalı ki MÖ 4. yüzyıldan bahsediyoruz: Modern hesap araçlarının yokluğunu bir yana bırakın büyük hesaplama kolaylığı getirmiş olan 10'lu Hind-Arap sayı sistemi dahi henüz ortalıkta yok. Aşağıda bu hesaplamaların tarihçesini gösteren bir alıntı var. İlave edeceğimiz tek şey sıra kendisine geldiğinde Arşimed'in alanları hesaplamak yerine çevreyi kullanarak 'yi hesaplama yöntemini seçmiş olmasıdır. Sözü uzatmamak için şunu söyleyelim: Sizin sorduğunuz 314159... hassasiyetine ulaşanlar Çin'li Tsu Ch'ung-chih ve oğlu Tsu Keng-chih'dir. Çemberin içine tam 24 526 köşeli bir çokgen çizip hesabı yaptılar ve 'nin değerini 355/113 olarak buldular. Belli ki düzgün bir altıgenle başlayıp köşe sayısını art arda 12 kez ikiye katlamış olmalılar. Hesaplamadaki yaklaşımın duyarlılık düzeyini görüyorsunuz. Evet örneğin bir konserve kutusu alarak çevresini ve çapını ölçüp oranlarsak 'ye yakın bir sayı buluruz. Tarihsel yöntem bu idi. Ancak günümüzde 'nin değeri çok sayıda farklı yöntem ile hesaplanmakta olup daha öncede belirttiğimiz gibi 54 milyar basamaktan daha büyük bir duyarlılıkla hesaplanmış durumda. Bu arada "o sabit sayı"ya adını 1650'lerden itibaren birkaç kez kullanıldığı görünmekle birlikte standard kullanım haline gelmesi 1737'de Euler'in 'yi benimsemesinden sonra olmuştur. pi kronolojisi 35 Basamak İçin Bir Ömür: Alman matematikçi Ludolph Van Ceulen'e (1540-1610). Ömrünü Pi sayısının basamaklarını hesaplamaya adamış Alman matematikçi 35. haneyi de hesapladıktan sonra daha yayınlanışını görmeden yaşama veda etti. Mezar taşına pi'nin ilk 35 hanesi yazılıdır. Almanya'da pi sayısına Ludophine sayısı denirdi. Şimdi 1.2 trilyondan fazla basamağın bilindiği düşünülürse... Yaşamın Anlamı(42) ve Pi (Scott Glazer'dan aktarma): 'Arayacak önemli bir sayı bulmaya çabalarken aklıma 42 geldi. (yaşamın evrenin ve Otostopçunun Galaksi Rehberi'ndeki her şeyin yanıtı) 42 doğallıkla çok sıradan olacağı için ben de 424242'yi seçtim. Ve gördüm kü bu sayı 242423'cü hanede kendini gösteriyor. Biraz zorlama olacak ama bir basamak da ondalık virgülü için ekleyelimal sana 242424; ilk sayımızın tersi. Evet işte bu anlamlı bir sonuç.' En Popüler Sayılar: 1999-2005 yılları arasında Pi'nin içinde en çok aranan yani en popüler dizi ne idi acaba? 131576 arama ile ikinci 10 dizisinin neredeyse iki katı sayıda arama aldı. Nedeni meçhul. Kapalı Halka: Pi'nin sonlu alt dizilerinin ilginçlikleriyle uğraşırken Dan Skorski şöyle bir halka keşfetmiş: 169 dizisini aradığında 40. pozisyonda bulmuş. 40'ı 70.'de 70'i 96.'da ve böylece devam etmiş. Sonuç şöyle: 169 40 70 96 180 3664 24717 15492 84198 65489 3725 1697441702 3788 5757 1958 14609 62892 44745 9385 169 40... Bir kapalı halka. 20 sayıdan oluşan bir döngü. Buna bezer döngüler başka var mı acaba? Yerinde Oturanlar: 3 ve virgülü saymazsak acaba hangi diziler pi içinde kendi pozisyonlarında oturuyorlar? İlk sayı yani1 kendi pozisyonunu dolduruyor. Hemen görebiliriz. İlk 100 milyon basamak içinde yerinde oturan sonlu sayı dizileri şunlar:1 16470 44899 79873884. Pizza: Pi günü hazırlıklarımızı yaparken çok acıkmıştık. Pizza ısmarladık. Arkadaşım Korsan pizzanın çapını ve kalınlığını ölçtü ve her birimizin eşit yemesini sağlamak için hacmini hesapladı. Bu ölçülere göre yarıçap z ve kalınlık a olduğuna göre yediğimiz pizzanın hacmi neydi? Tübitak-Bilim Teknik
